Egalité entre deux fonctions par les dérivées des ln

Illustraction de l'idée avec un exemple
Le but est de trouver une expression simple de la fonction $$f:x\longmapsto\cos(\arctan(x))$$.

On sait que $$\arctan':x\longmapsto\frac{1}{1+x^{2}}$$. Ainsi donc on obtient que $$f':x\longmapsto -\frac{1}{1+x^{2}}\times\sin(\arctan(x))$$.
 * On commence par dériver $$f$$. On a que $$f':x\longmapsto -\arctan'(x)\times\sin(\arctan(x))$$.


 * On applique le $$\ln$$ à $$f$$, ce qui nous donne une fonction

$$g:x\longmapsto \ln[f(x)]=\ln[\cos(\arctan(x))]$$.


 * On dérive $$g$$ ce qui nous donne

$$g':x\longmapsto\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{-\frac{1}{1+x^{2}}\times\sin(\arctan(x))}{\cos(\arctan(x))} = -\frac{1}{1+x^{2}}\frac{\sin(\arctan(x))}{\cos(\arctan(x))} = -\frac{1}{1+x^{2}}\tan(\arctan(x)) = \frac{-x}{1+x^{2}}$$

On a donc que $$g':x\longmapsto\frac{-x}{1+x^{2}}$$


 * On cherche une primitive de $$g'$$ qui n'est pas la même expression que celle de départ. On remarque que $$g'$$ est de la forme $$\frac{k\times u'}{u}$$ avec $$k\in\mathbb{R}$$.

Une primitive sera donc $$g_{2}:x\longmapsto k\ln(u(x))$$. Il nous faut prendre ici $$u:x\longmapsto1+x^{2}$$. Donc $$u':x\longmapsto2x$$ et donc $$k=\frac{-1}{2}$$.

Ainsi donc $$g_{2}:x\longmapsto\frac{-1}{2}\ln(1+x^{2})=\ln\left[(1+x^{2})^{\frac{-1}{2}}\right]=\ln\left(\frac{1}{(1+x^{2})^{\frac{1}{2}}}\right)=\ln\left(\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\right)$$.

Donc $$g_{2}:x\longmapsto\ln\left(\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\right)$$.


 * On sait que $$g$$ et $$g_{2}$$ sont deux primitives de $$g'$$. Evaluons la constance qui les sépare. Pour cela, calulons $$g(0)$$ et $$g_{2}(0)$$.

On a $$g(0) = \ln[\cos(\arctan(0))]=\ln[\cos(0)] = ln(1)=0$$

et $$g_{2}(0) = \ln\left(\frac{1}{\sqrt{1+0}}\right)=\ln\left(\frac{1}{\sqrt{1}}\right)=\ln\left(\frac{1}{1}\right)=\ln(1) = 0$$

Donc $$g(0) = g_{2}(0)$$ donc ce sont les mêmes fonctions donc $$g:x\longmapsto\ln[\cos(\arctan(x))]=\ln\left(\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\right)$$

donc $$\cos(\arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$$.

Généralisation
Soit toute fonction de la forme $$\mbox{frac}(x)=\frac{\mbox{num}(x)}{\mbox{denom}(x)}$$ telle que $$\mbox{denom}'(x) = k\times\mbox{num}(x)$$ avec $$k\in\mathbb{R}$$.

Notons $$\mbox{arcfrac}(x)$$ la fonction réciproque de la fonction $$\mbox{frac}(x)$$.

On a donc forcément que $$\mbox{frac}[\mbox{arcfrac}(x)] = x$$.

Au final, si on dérive la fonction composée $$\mbox{denom}[arcfrac(x)]$$, on obtient $$k\times\mbox{arcfrac}'(x)\times\mbox{num}(x)$$.

On applique le $$\ln$$ à $$\mbox{denom}[\mbox{arcfrac}(x)]$$ ce qui nous donne $$\ln(\mbox{denom}[\mbox{arcfrac}(x)])$$.

Dérivons à présent cette nouvelle fonction obtenue: on obtient $$\frac{k\times\mbox{arcfrac}'(x)\times\mbox{num}[\mbox{arcfrac}(x)]}{\mbox{denom}[\mbox{arcfrac}(x)]} = k\times\mbox{arcfrac}'(x)\times\frac{\mbox{num}[\mbox{arcfrac}(x)]}{\mbox{denom}[\mbox{arcfrac}(x)]} = k\times\mbox{arcfrac}'(x)\times\mbox{frac}[\mbox{arcfrac}(x)] = k\times\mbox{arcfrac}'(x)\times x$$.

La dérivée de cette fonction est donc $$k\times\mbox{arcfrac}'(x)\times x$$.

On veut maintenant que cette dérivée soit la dérivée d'une fonction assez simple, donc polynomiale, à laquelle on appliquerait un $$\ln$$.

Il nous faut donc avoir:

$$kx$$ soit la dérivée de la fonction polynomiale (à un facteur multiplicatif près)à laquelle on applique le $$\ln$$: ainsi $$\mbox{arcfrac}'(x) = \frac{2a}{ax^{2}+b}$$ avec $$a\in\mathbb{R}^{*}, b\in\mathbb{R}$$.

Ainsi, on aura $$k\times\mbox{arcfrac}'(x)\times x = k\frac{2ax}{ax^{2}+b}$$