L'espace vectoriel des suites réelles

Soit $$\mathcal{F}(\mathbb{N};\mathbb{R})$$.

Il s'agit par définition des suites réelles de l'ensemble des suites réelles.

Pour la suite, on le notera $$S$$.

Le but de cette page wiki est de prouver que, muni de sa loi de composition interne $$+$$ et de sa loi de composition externe $$.$$ de domaine $$\mathbb{R}$$, $$S$$ est un $$\mathbb{R}$$ espace vectoriel.

Définition
Soient $$(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$$ et $$(v_{n})_{n\in\mathbb{N}}$$ deux suites réelles.

On définie la nouvelle suite formée par l'addition de ces deux précédents, de cette manière:

$$\forall n\in\mathbb{N},~(u+v)_{n}=u_{n}+v_{n}$$

La loi de composition interne est alors l'application suivante, notée $$+$$:

$$+:S^{2}\longrightarrow S$$

$$((u_{n})_{n\in\mathbb{N}};(v_{n})_{n\in\mathbb{N}})\longmapsto ((u+v)_{n})_{n\in\mathbb{N}}$$

Commutativité de la loi de composition interne
Soient $$(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$$ et $$(v_{n})_{n\in\mathbb{N}}$$ deux suites réelles.

On a lors que $$\forall n\in\mathbb{N},~(u+v)_{n}=u_{n}+v_{n}=v_{n}+u_{n}=(v+u)_{n}$$ par commutativité de l'addition de deux réels.

Il vient donc que $$((u+v)_{n})_{n\in\mathbb{N}}=((v+u))_{n})_{n\in\mathbb{N}}$$ car les deux suites associent les mêmes valeurs aux mêmes entiers naturels.

Donc la loi $$+$$ des suites réelles est commutative.

Associativité de la loi de composition interne
Soient $$(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$$; $$(v_{n})_{n\in\mathbb{N}}$$ et $$(w_{n})_{n\in\mathbb{N}}$$ trois suites réelles.

On a alors $$\forall n\in\mathbb{N}, (u_{n}+v_{n})+w_{n}=u_{n}+(v_{n}+w_{n})$$ par associativité de l'addition des réelles.

Donc on a $$(([u+v]+w)_{n})_{n\in\mathbb{N}}=((u+[v+w])_{n})_{n\in\mathbb{N}}$$ par définition de l'égalité entre deux suites réelles.

Donc la loi $$+$$ est associative.

Existence d'un élément neutre par la loi de composition interne
Soit la suite réelle $$(0_{n})_{n\in\mathbb{N}}$$ définie $$\forall n\in\mathbb{N},~0_{n}=0$$.

On a alors que pour toute suite réelle $$(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$$, $$\forall n\in\mathbb{N},~u{n}+0_{n}=u_{n}+0=u_{n}$$

et que donc $$((u+0)_{n})_{n\in\mathbb{N}}=(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$$.

Donc $$(0_{n})_{n\in\mathbb{N}}$$ est un élément neutre pour l'ensemble des suites réelles par la loi de composition interne.

Donc l'ensemble des suites réelles admet un élément neutre par sa loi de composition interne.