MPSI: Chapitre 4 - Technique de dérivation - Généralités sur les fonctions numériques

Représentation graphique
Pour la suite, on considère la fonction $$f$$ et un réel $$a$$.

f(x)+a
Soit la fonction définie pour tout réel $$x$$ par $$f_{a}(x)=f(x)+a$$.

Pour chaque point $$M(x;f(x))$$, le point $$N(x;f_{a}(x))$$ s'obtient par translation de $$M$$ par le vecteur $$(0;a)$$.

Ainsi, le graphe de la fonction est décalé vers le haut de $$a$$.



f(x+a)
Soit la fonction définie pour tout réel $$x$$ par $$f_{a}(x)=f(x+a)$$.

Pour chaque point $$M(x;f(x))$$, le point $$N(x;f_{a}(x))$$ s'obtient par translation de $$M$$ par le vecteur $$(-a;0)$$.

Ainsi, le graphe de la fonction est décale vers la gauche de $$a$$.



f(a-x)
Soit la fonction définie pour tout réel $$x$$ par $$f_{a}(x)=f(a-x)$$.

Pour chaque point $$M(x;f(x))$$, le point $$N(x;f_{a}(x))$$ s'obtient par symétrie par rapport à l'axe x=\frac{a}{2}.



f(ax)
Accordéon horizontal.

Homotéthie de rapport $$\frac{1}{a}$$ en abscisse uniquement.



af(x)
Accordéon vertical.

Homotéthie de rapport $$a$$ en ordonnée uniquement.



Opérations sur les fonctions numériques
Soit $$f$$ une fonction définie sur $$\mathcal{D}_{f}$$.

Soit $$g$$ une fonction définie sur $$\mathcal{D}_{g}$$.

Domaine de définition de somme et de produit
Le domaine de définition des fonctions $$f+g$$ et $$fg$$ est $$\mathcal{D}_{f}\cap\mathcal{D}_{g}$$.

Domaine de définition d'une composition de fonctions
Le domaine de définition de la fonction $$gof$$ est $$\left\{x\in\mathcal{D}_{f};f(x)\in\mathcal{D}_{g}\right\}$$.

Partie paire et partie impaire d'une fonction
Soit $$f$$ une fonction définie sur $$\mathcal{D}$$, une partie de $$\mathbb{R}$$ qui est symétrique par rapport à $$0$$.

Alors $$f$$ peut s'écrire de manière unique sous la forme $$f=f_{p}+f_{i}$$ où


 * $$\forall x\in\mathcal{D}, f_{p}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$$ est une fonction paire.


 * $$\forall x\in\mathcal{D}, f_{i}(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$ est une fonction impaire.

On dira que $$f_{p}$$ est la partie paire de $$f$$, et que $$f_{i}$$ est la partie impaire de $$f$$.

Démonstration

On remarquera que la partie paire de l'exponentielle est cosinus hyperbolique, et que la partie impaire de l'exponentielle est le sinus hyperbolique.

Produit et somme de fonctions paires ou impaires
Soit $$f$$ et $$g$$ deux fonctions définie sur un domaine $$\mathcal{D}$$ possédant chacune une parité.


 * Si $$f$$ et $$g$$ ont la même parité, alors $$fg$$ est paire.


 * Si $$f$$ et $$g$$ n'ont pas la même parité, alors $$fg$$ est impaire.


 * Si $$f$$ et $$g$$ ont la même parité, alors $$\forall\left(\alpha;\beta\right)\in\mathbb{R}^{2}, \alpha f+\beta g$$ est de même parité que $$f$$ et que $$g$$.

Démonstration

Composition de fonctions paires ou impaires
Soient $$f$$ et $$g$$ deux fonctions telles que $$gof$$ est définie sur un domaine $$\mathcal{D}$$ symétrique par rapport à $$0$$.


 * Si $$f$$ est paire, alors peu importe $$g$$, la fonction $$gof$$ est paire.


 * Si $$f$$ est impaire, et si $$g$$ possède une parité, alors $$gof$$ est de la même parité que $$g$$.

Démonstration

Quelques formules supplémentaires sur les fonctions paires ou impaires

 * Soit $$n\in\mathbb{N}$$. Si $$f$$ est paire, alors $$f^{n}$$ est paire.


 * Soit $$n\in\mathbb{N}$$. Si $$f$$ est impaire, alors $$f^{n}$$ est de la même parité que $$n$$.


 * Si $$f$$ est paire ou impaire, alors $$|f|$$ est paire.


 * Si $$f$$ est paire ou impaire et ne s'annule pas, alors $$1/f$$ est de même parité que $$f$$.


 * Si $$f$$ est impaire et est bijective de $$D$$ vers $$D'$$, alors $$f^{-1}$$ est impaire.

Démonstration