Démonstration des formules de produit et de somme de fonctions paires ou impaires

Enoncé des théorèmes des produits de parité
Soit $$f$$ et $$g$$ deux fonctions définie sur un domaine $$\mathcal{D}$$ possédant chacune une parité.


 * Si $$f$$ et $$g$$ ont la même parité, alors $$fg$$ est paire.


 * Si $$f$$ et $$g$$ n'ont pas la5 même parité, alors $$fg$$ est impaire.


 * Si $$f$$ et $$g$$ ont la même parité, alors $$\forall\left(\alpha;\beta\right)\in\mathbb{R}^{2}, \alpha f+\beta g$$ est de même parité que $$f$$ et que $$g$$.

Première démonstration

 * Supposons que $$f$$ et $$g$$ soient toutes les deux paires.

Alors pour tout $$x\in\mathcal{D}, fg(-x) = f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=fg(x)$$.

Donc $$fg$$ est paire.


 * Supposons que $$f$$ et $$g$$ soient toutes les deux impaires.

Alors pour tout $$x\in\mathcal{D}, fg(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)(-g(-x))=f(x)g(x)=fg(x)$$.

Donc $$fg$$ est paire.

Deuxième démonstration
Supposons que $$f$$ et $$g$$ n'aient pas la même parité.

Supposons que $$f$$ est la fonction paire, et $$g$$ la fonction impaire (le produit étant commutatif, on peut inverser).

Alors pour tout $$x\in\mathcal{D},fg(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)(-g(x))=-f(x)g(x)=-fg(x)$$.

Donc $$fg$$ est impaire.