Démonstration des propriétés de la borne supérieure et de la borne inférieure

Propriété 3
Soient $$A$$ et $$B$$ deux parties non vide de $$\mathbb{R}$$ telles que $$A\subset B$$.


 * Si $$B$$ est majorée, alors $$A$$ et majorée et $$\sup(A)\leq\sup(B)$$.


 * Si $$B$$ est minorée, alors $$A$$ est minorée et $$\inf(A)\geq\inf(B)$$.

Démonstration 3

 * Si $$B$$ est majorée, alors par l'axiome de la borne supérieure, $$\sup(B)$$ existe.

Ainsi, pour tout élément $$b$$ de $$B$$, $$b \leq \sup(B)$$ par définition de $$\sup(B)$$.

Or, $$A \subset B$$, donc pour tout élément $$a$$ de $$A$$, $$a$$ appartient à $$B$$.

Donc pour tout élément $$a$$ de $$A$$, $$a \leq \sup(B)$$.

Donc $$\sup(B)$$ majore $$A$$.

Donc $$A$$ est majorée. CQFD

Or, $$A$$ est non vide, donc d'après l'axiome de la borne supérieure, $$\sup(A)$$ existe.

Par définition de $$\sup(A)$$, pour tout réel $$M$$ majorant $$A$$, on a $$\sup(A)\leq M$$.

Or, $$\sup(B)$$ majore $$A$$.

Donc $$\sup(A) \leq \sup(B)$$. CQFD


 * Si $$B$$ est minorée, alors d'après la propriété de la borne inférieure, $$\inf(B)$$ existe.

Ainsi, pour tout élément $$b$$ de $$B$$, $$b \geq \sup(B)$$ par définition de $$\inf(B)$$.

Or, $$A \subset B$$, donc pour tout élément $$a$$ de $$A$$, $$a$$ appartient à $$B$$.

Donc pour tout élément $$a$$ de $$A$$, $$a \geq \sup(B)$$.

Donc $$\inf(B)$$ minore $$A$$.

Donc $$A$$ est minorée. CQFD

Or, $$A$$ est non vide, donc d'après la propriété de la borne inférieure, $$\inf(A)$$ existe.

Par définition de $$\inf(A)$$, pour tout réel $$m$$ minorant $$A$$, on a $$\inf(A)\geq m$$.

Or, $$\inf(B)$$ minore $$A$$.

Donc $$\inf(A) \geq \inf(B)$$. CQFD

Propriété 4
Soit $$A$$ une partie non vide de $$\mathbb{R}$$. Notons $$-A$$ l'ensemble $$\left\{-a,a\in A\right\}$$.


 * Si $$A$$ est majorée, alors $$-A$$ est minorée et $$\inf(-A)=-\sup(A)$$.


 * Si $$A$$ est minorée, alors $$-A$$ est majorée et $$\sup(-A)=-\inf(A)$$.

Démonstration 4

 * Supposons que $$A$$ soit majorée.

Comme $$A$$ est non vide, alors d'après l'axiome de la borne supérieure, $$\sup(A)$$ existe.

Donc pour tout élément $$a$$ de $$A$$, on ait $$a \leq \sup(A)$$.

Donc pour tout élément $$a$$ de $$A$$, on ait $$-\sup(A) \leq -a$$.

Donc pour tout élément $$x$$ de $$-A$$, on ait $$-\sup(A) \leq x$$.

Donc $$-A$$ est minorée. CQFD.

Et $$-\sup(A)$$ est un minorant de $$-A$$.

Donc, comme $$-A$$ est non vide, d'après la propriété de la borne inférieure, $$\inf(-A)$$ existe.

Donc $$-\sup(A)\leq\inf(A)(1)$$


 * Soit $$m$$ un minorant de $$-A$$.

Alors pour tout $$x$$ appartenant à $$-A$$, on a $$m\leq x$$.

Donc pour tout $$x$$ appartenant à $$-A$$, on a $$-x\leq-m$$.

Donc pour tout $$a$$ appartenant à $$A$$, on a $$a\leq-m$$.

Donc, d'après la définition de $$\sup(A)$$, on a $$\sup(A)\leq-m$$.

Donc $$m \leq -\sup(A)$$.

Or, $$\inf(-A)$$ est un minorant de $$-A$$ par définition.

Donc $$\inf(-A) \leq -\sup(A)(2)$$.


 * D'après $$(1)$$ et $$(2)$$, on a $$\inf(-A)=-\sup(A)$$. CQFD


 * Supposons que $$A$$ soit minorée.

Comme $$A$$ est non vide, alors d'après la propriété de la borne inférieure, $$\inf(A)$$ existe.

Donc pour tout élément $$a$$ de $$A$$, on ait $$\inf(A) \leq a$$.

Donc pour tout élément $$a$$ de $$A$$, on ait $$-a \leq -\inf(A)$$.

Donc pour tout élément $$x$$ de $$-A$$, on ait $$x \leq -\inf(A)$$.

Donc $$-A$$ est majorée. CQFD.

Et $$-\inf(A)$$ est un majorant de $$-A$$.

Donc, comme $$-A$$ est non vide, d'après l'axiome de la borne supérieure, $$\sup(-A)$$ existe.

Donc $$\sup(-A)\leq-\inf(A)(1)$$


 * Soit $$M$$ un majorant de $$-A$$.

Alors pour tout $$x$$ appartenant à $$-A$$, on a $$x\leq M$$.

Donc pour tout $$x$$ appartenant à $$-A$$, on a $$-M\leq-x$$.

Donc pour tout $$a$$ appartenant à $$A$$, on a $$-M\leq a$$.

Donc, d'après la définition de $$\inf(A)$$, on a $$-M\leq\inf(A)$$.

Donc $$-\inf(A) \leq M$$.

Or, $$\sup(-A)$$ est un majorant de $$-A$$ par définition.

Donc $$-\inf(A) \leq \sup(-A)(2)$$.


 * D'après $$(1)$$ et $$(2)$$, on a $$\sup(-A)=-\inf(A)$$. CQFD

Propriété 5
Soient $$A$$ et $$B$$ deux parties non vides de $$\mathbb{R}$$.


 * Si $$A$$ et $$B$$ sont toutes les deux majorées, alors $$A+B$$ est majorée et $$\sup(A+B) = \sup(A)+\sup(B)$$.


 * Si $$A$$ et $$B$$ sont toutes les deux minorées, alors $$A+B$$ est minorée, et $$\inf(A+B) = \inf(A)+\inf(B)$$.

Démonstration 5

 * D'après l'axiome de la borne supérieure, $$\sup(A)$$ et $$\sup(B)$$ existent.

On a donc que pour tout $$a$$ de $$A$$, $$a\leq\sup(A)$$ et pour tout $$b$$ de $$B$$, $$b\leq\sup(B)$$.

Donc $$a+b\leq\sup(A)+\sup(B)$$.

Donc $$\sup(A)+\sup(B)$$ est un majorant de $$A+B$$.

Donc $$A+B$$ est majoré. CQFD.

Donc d'après l'axiome de la borne supérieure, $$A+B$$ admet une borne supérieure.

Comme $$\sup(A)+\sup(B)$$ est un majorant de $$A+B$$,

on a par définition que $$\sup(A+B)\leq\sup(A)+\sup(B)$$.

Soit $$M$$ un majorant de $$A+B$$.

Donc pour tout $$a$$ de $$A$$ et tout $$b$$ de $$B$$, on a $$a+b\leq M$$.

Donc pour tout $$a$$ de $$A$$ et tout $$b$$ de $$B$$, on a $$a\leq M-b$$.

Donc pour tout $$b$$ de $$B$$, $$M-b$$ est un majorant de $$A$$.

Donc pour tout $$b$$ de $$B$$, $$\sup(A)\leq M-b$$.

Donc pour tout $$b$$ de $$B$$, $$b\leq M-\sup(A)$$.

Donc $$M-\sup(A)$$ est un majorant de $$B$$.

Donc $$\sup(B)\leq M-\sup(A)$$.

Donc $$\sup(A)+\sup(B)\leq M$$.

Or, par définition, $$\sup(A+B)$$ est un majorant de $$A+B$$.

Donc \$$sup(A)+\sup(B)\leq\sup(A+B)(2)$$.


 * D'après $$(1)$$ et $$(2)$$, il vient $$\sup(A+B) = \sup(A)+\sup(B)$$. CQFD.


 * D'après la propriété de la borne inférieure, $$\inf(A)$$ et $$\inf(B)$$ existent.

On a donc que pour tout $$a$$ de $$A$$, $$a\geq\inf(A)$$ et pour tout $$b$$ de $$B$$, $$b\geq\inf(B)$$.

Donc $$a+b\geq\inf(A)+\inf(B)$$.

Donc $$\inf(A)+\inf(B)$$ est un minorant de $$A+B$$.

Donc $$A+B$$ est minoré. CQFD.

Donc d'après la propriété de la borne inférieure, $$A+B$$ admet une borne inférieure.

Comme $$\inf(A)+\inf(B)$$ est un minorant de $$A+B$$,

on a par définition $$\inf(A)+\inf(B)\geq\inf(A+B)(1)$$

Soit $$m$$ un minorant de $$A+B$$.

Donc pour tout $$a$$ de $$A$$ et tout $$b$$ de $$B$$, on a $$a+b\geq m$$.

Donc pour tout $$a$$ de $$A$$ et tout $$b$$ de $$B$$, on a $$a\geq m-b$$.

Donc pour tout $$b$$ de $$B$$, $$m-b$$ est un minorant de $$A$$.

Donc pour tout $$b$$ de $$B$$, $$\inf(A)\geq m-b$$.

Donc pour tout $$b$$ de $$B$$, $$b\geq m-\inf(A)$$.

Donc $$m-\inf(A)$$ est un minorant de $$B$$.

Donc $$\inf(B)\geq m-\inf(A)$$.

Donc $$\inf(A)+\inf(B)\leq m$$.

Or, par définition, $$\inf(A+B)$$ est un minorant de $$A+B$$.

Donc $$\inf(A)+\inf(B)\leq\inf(A+B)(2)$$.


 * D'après $$(1)$$ et $$(2)$$, il vient $$\inf(A+B) = \inf(A)+\inf(B)$$. CQFD.