Démonstration des formules de composition de fonctions paires ou impaires

Enoncé
Soient $$f$$ et $$g$$ deux fonctions telles que $$gof$$ est définie sur un domaine $$\mathcal{D}$$ symétrique par rapport à $$0$$.


 * Si $$f$$ est paire, alors peu importe $$g$$, la fonction $$gof$$ est paire.


 * Si $$f$$ est impaire, et si $$g$$ possède une parité, alors $$gof$$ est de la même parité que $$g$$.

Démonstration 1
Supposons que $$f$$ est paire.

Alors $$\forall x\in\mathcal{D},gof(-x)=g[f(-x)]=g[f(x)]=gof(x)$$.

Donc $$gof$$ est paire. CQFD

Démonstration 2

 * Supposons que $$f$$ est impaire et que $$g$$ est paire.

Alors $$\forall x\in\mathcal{D},gof(-x)=g[f(-x)]=g[-f(x)]=g[f(x)]=gof(x)$$.

Donc $$gof$$ est paire.


 * Supposons que $$f$$ est impaire et que $$g$$ est impaire.

Alors $$\forall x\in\mathcal{D},gof(-x)=g[f(-x)]=g[-f(x)]=-g[f(x)]=-gof(x)$$.

Donc $$gof$$ est impaire.

CQFD