Démonstration de la propriété de la borne inférieure

Enoncé
Soit $$A$$ une partie non vide et minorée de $$\mathbb{R}$$.

Alors l'ensemble des minorants de $$A$$ possède un élément maximum.

Cet élément est appelé borne inférieure de $$A$$ et est noté $$inf(A)$$.

Démonstration
On considère pour la suite que | l'axiome de la borne supérieure est vrai.
 * Soit $$A$$ une partie non vide et minorée de $$\mathbb{R}$$.

Notons $$E$$ l'ensemble de ses minorants.

On sait que $$E$$ est non vide car $$A$$ est minorée.


 * Commençons par montrer que $$E$$ est majoré:

Soit $$a_{0}\in A$$, qui existe puisque $$A$$ est non vide.

Si $$x$$ appartient à $$E$$, alors $$x$$ minore $$A$$ donc $$x \leq a_{0}$$.

Ainsi, $$a_{0}$$ majore $$E$$.

Donc $$E$$ est majoré.


 * $$E$$ est non vide et est majoré: il possède donc une borne supérieure.

Notons $$s=sup(E)$$. C'est le plus petit majorant de $$E$$.

Or, pour tout élément $$a$$ de $$A$$, $$a$$ majore $$E$$.

Donc $$s \leq a$$.

Donc $$s$$ minore $$A$$.

Donc $$s$$ appartient à $$E$$.

Or $$s$$ majore $$E$$,

Donc $$s=max(E)$$.

Donc $$s=inf(A)$$.

Donc $$A$$ possède une borne inférieure. CQFD