Démonstration de la formule de Taylor-Young

Développement limité à l'ordre 1
Soit $$f$$ une fonction dérivable en $$x_{0}$$

Donc $$\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}}\left(\frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}}\right) = f'(x_{0})$$

Donc $$\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}}\left(\frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}} - f'(x_{0})\right) = 0$$

Donc $$\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}}\left(\frac{f(x) - f(x_{0})}{x-x_{0}} - \frac{f'(x_{0})\times(x-x_{0})}{x-x_{0}}\right) = 0$$

Donc $$\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}}\left(\frac{f(x) - f(x_{0}) - f'(x_{0})\times(x-x_{0})}{x-x_{0}} \right) = 0$$

Donc $$f(x) - f(x_{0}) - f'(x_{0})\times(x-x_{0}) = o(x-x_{0})$$ (quand $$x\longrightarrow x_{0}$$)

Donc $$f(x) = f(x_{0}) + f'(x_{0})\times(x-x_{0}) + o(x-x_{0})$$ (quand $$x\longrightarrow x_{0}$$) DL à l'ordre 1 de $$f(x)$$

Développement limité à l'ordre 2
Soit $$f$$ est 2 fois dérivable en $$x_{0}$$

On calcule $$\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}} \left(\frac{f(x) - f(x_{0}) - f'(x_{0})(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}}\right)$$

On pose $$g(x) = f(x) - f(x_{0}) - f'(x_{0})(x-x_{0})$$

et $$h(x) = (x-x_{0})^{2}$$

Donc $$g'(x) = f'(x) - f'(x_{0})$$

et $$h'(x) = 2(x-x_{0})$$

Donc $$\frac{g'(x)}{h'(x)} = \frac{f'(x) - f'(x_{0})}{2(x-x_{0})}$$

Donc $$\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}}\left(\frac{g'(x)}{h'(x)}\right) = \lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}}\left(\frac{f'(x) - f'(x_{0})}{2(x-x_{0})}\right) = \frac{f''(x_{0})}{2}$$

D'après la [Règle de l'Hôpital], $$\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}}\left(\frac{g(x)}{h(x)}\right) = \lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}}\left(\frac{g'(x)}{h'(x)}\right) = \frac{f''(x_{0})}{2}$$

Donc $$\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}} \left(\frac{f(x) - f(x_{0}) - f'(x_{0})(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}}\right) = \frac{f''(x_{0})}{2}$$

Donc $$\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}} \left(\frac{f(x) - f(x_{0}) - f'(x_{0})(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}} - \frac{f''(x_{0})}{2} \right) = 0$$

Donc $$\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}} \left(\frac{f(x) - f(x_{0}) - f'(x_{0})(x-x_{0})}{(x-x_{0})^{2}} - \frac{\frac{f''(x_{0})}{2}(x-x_{0})^{2}}{(x-x_{0})^{2}} \right) = 0$$

Donc $$\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}} \left(\frac{f(x) - f(x_{0}) - f'(x_{0})(x-x_{0}) - \frac{(x-x_{0})^{2}}{2}f''(x_{0})}{(x-x_{0})^{2}} \right) = 0$$

Donc $$f(x) - f(x_{0}) - f'(x_{0})(x-x_{0}) - \frac{(x-x_{0})^{2}}{2}f''(x_{0}) = o\left[(x-x_{0})^{2}\right]$$ quand $$x\longrightarrow x_{0}$$

Donc $$f(x) = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x-x_{0}) + \frac{(x-x_{0})^{2}}{2}f''(x_{0}) + o\left[(x-x_{0})^{2}\right]$$ quand $$x\longrightarrow x_{0}$$ DL à l'ordre 2 de $$f$$

Développement limité l'ordre 3
Soit $$f$$ 3 fois dérivable en $$x_{0}$$

On calcule $$\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}}\left(\frac{f(x) - f(x_{0}) - f'(x_{0})(x-x_{0}) - \frac{(x-x_{0})^{2}}{2}f''(x_{0})}{(x-x_{0})^{3}}\right)$$

On pose $$g(x) = f(x) - f(x_{0}) - f'(x_{0})(x-x_{0}) - \frac{(x-x_{0})^{2}}{2}f''(x_{0})$$

et $$h(x) = (x-x_{0})^{3}$$

Donc $$g'(x) = f'(x) - f'(x_{0}) - f''(x_{0})(x-x_{0})$$

et $$h'(x) = 3(x-x_{0})^{2}$$

Donc $$g(x) = f(x) - f''(x_{0})$$

et $$h''(x) = 6(x-x_{0})$$

Donc $$\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}}\left(\frac{g(x)}{h(x)}\right) = \frac{f^{(3)}(x_{0})}{6}$$

D'après la [Règle de l'Hôpital], $$\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}}\left(\frac{g(x)}{h(x)}\right) = \lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}}\left(\frac{g'(x)}{h'(x)}\right) = \lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}}\left(\frac{g(x)}{h(x)}\right) = \frac{f^{(3)}(x_{0})}{6}$$

Donc $$\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}}\left(\frac{f(x) - f(x_{0}) - f'(x_{0})(x-x_{0}) - \frac{(x-x_{0})^{2}}{2}f''(x_{0})}{(x-x_{0})^{3}}\right) = \frac{f^{(3)}(x_{0})}{6}$$

Donc $$\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}}\left(\frac{f(x) - f(x_{0}) - f'(x_{0})(x-x_{0}) - \frac{(x-x_{0})^{2}}{2}f''(x_{0})}{(x-x_{0})^{3}} - \frac{f^{(3)}(x_{0})}{6}\right) = 0$$

Donc $$\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}}\left(\frac{f(x) - f(x_{0}) - f'(x_{0})(x-x_{0}) - \frac{(x-x_{0})^{2}}{2}f''(x_{0})}{(x-x_{0})^{3}} - \frac{\frac{f^{(3)}(x_{0})}{6}(x-x_{0})^{3}}{(x-x_{0})^{3}}\right) = 0$$

Donc $$\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}}\left(\frac{f(x) - f(x_{0}) - f'(x_{0})(x-x_{0}) - \frac{(x-x_{0})^{2}}{2}f''(x_{0}) - \frac{(x-x_{0})^{3}}{6}f^{(3)}(x_{0})}{(x-x_{0})^{3}}\right) = 0$$

Donc $$f(x) - f(x_{0}) - f'(x_{0})(x-x_{0}) - \frac{(x-x_{0})^{2}}{2}f''(x_{0}) - \frac{(x-x_{0})^{3}}{6}f^{(3)}(x_{0}) = o\left[(x-x_{0})^{3}\right]$$

Donc $$f(x) = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x-x_{0}) + \frac{(x-x_{0})^{2}}{2}f''(x_{0}) + \frac{(x-x_{0})^{3}}{6}f^{(3)}(x_{0}) + o\left[(x-x_{0})^{3}\right]$$ DL à l'ordre 3 de $$f$$

Démonstration
On veut démontrer que $$f(x) = \sum\limits_{k=0}^{n}\left( f^{(k)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right) + o\left[(x-x_{0})^{n}\right]$$.

On veut calculer $$\lim\limits_{x\to x_{0}}\left( \frac{f(x) - \sum\limits_{k=0}^{n-1}\left( f^{(k)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right)}{(x-x_{0})^{n}}\right)$$

Soit $$g(x) = f(x) - \sum\limits_{k=0}^{n-1}\left( f^{(k)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right)$$

Et $$h(x) = (x-x_{0})^{n}$$

Première démonstration par récurrence: les dérivées de g
Le but de cette première démonstration par récurrence est de montrer que $$g^{(n-1)}(x) = f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(x_{0})$$

Mais pour cela, on doit montrer par récurrence que $$g^{(m)}(x) = f^{(m)}(x) - \sum\limits_{k=0}^{n-1-m}\left(f^{(k+m)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right)$$ et ce $$\forall m \in \mathbb{N}$$

Initialisation

Pour $$m = 1$$

On veut donc montrer que $$g'(x) = f'(x) - \sum\limits_{k=0}^{n-2}\left(f^{(k+1)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right)$$

Or, on sait que $$g(x) = f(x) - \sum\limits_{k=0}^{n-1}\left( f^{(k)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right)$$

Donc $$g'(x) = f'(x) - \sum\limits_{k=0}^{n-1}\left( \frac{d\left[f^{(k)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right]}{dx}\right)$$

On s'intéresse à $$\frac{d\left[f^{(k)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right]}{dx}$$


 * Si $$k = 0$$, alors la dérivée de ce terme de devient nulle, et donc on enlève le terme de toute la somme.


 * Pour $$k \geq 1$$, on a $$\frac{d\left[f^{(k)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right]}{dx} = f^{(k)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k-1}}{(k-1)!}$$

On a donc $$g'(x) = f'(x) - \sum\limits_{k=1}^{n-1}\left( f^{(k)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k-1}}{(k-1)!}\right)$$ (on part de $$k=1$$ car le terme pour $$k=0$$ a disparu)

On pose $$p = k-1$$

Donc $$g'(x) = f'(x) - \sum\limits_{p=0}^{n-2}\left( f^{(p+1)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{p}}{p!}\right)$$

Donc on a bien montré que $$g'(x) = f'(x) - \sum\limits_{k=0}^{n-2}\left(f^{(k+1)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right)$$.

Donc c'est vrai pour $$m=1$$

Hérédité

On va maintenant supposer que $$g^{(m)}(x) = f^{(m)}(x) - \sum\limits_{k=0}^{n-1-m}\left(f^{(k+m)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right)$$ pour un seul $$m$$ quelconque.

On veut montrer que ça reste vrai pour $$m+1$$, c'est-à-dire que $$g^{(m+1)}(x) = f^{(m+1)}(x) - \sum\limits_{k=0}^{n-1-(m+1)}\left(f^{(k+m+1)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right)$$

Donc on a $$g^{(m)}(x) = f^{(m)}(x) - \sum\limits_{k=0}^{n-1-m}\left(f^{(k+m)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right)$$

Donc $$g^{(m+1)} = f^{(m+1)}(x) - \sum\limits_{k=0}^{n-1-m}\left(\frac{d\left[f^{(k+m)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right]}{dx}\right)$$

On s'intéresse à $$\frac{d\left[f^{(k+m)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right]}{dx}$$


 * Si $$k = 0$$, alors la dérivée de ce terme de devient nulle, et donc on enlève le terme de toute la somme.


 * Pour $$k \geq 1$$, on a $$\frac{d\left[f^{(k+m)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right]}{dx} = f^{(k+m)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k-1}}{(k-1)!}$$

On a donc $$g^{(m+1)} = f^{(m+1)}(x) - \sum\limits_{k=1}^{n-1-m}\left(f^{(k+m)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right)$$

On pose $$p = k - 1$$

On a donc $$g^{(m+1)} = f^{(m+1)}(x) - \sum\limits_{p=0}^{n-1-(m+1)}\left(f^{(p+m+1)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{p}}{p!}\right)$$

On a donc bien montré que $$g^{(m+1)}(x) = f^{(m+1)}(x) - \sum\limits_{k=0}^{n-1-(m+1)}\left(f^{(k+m+1)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right)$$

Conclusion

On a $$g^{(m)}(x) = f^{(m)}(x) - \sum\limits_{k=0}^{n-1-m}\left(f^{(k+m)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right)$$ et ce $$\forall m \in \mathbb{N}$$.

Le but de cette démonstration par récurrence est de montrer que $$g^{(n-1)}(x) = f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(x_{0})$$

Ici donc, $$m = n-1$$

Donc d'après notre formule connue, on a $$g^{(n-1)}(x) = f^{(n-1)}(x) - \sum\limits_{k=0}^{n-1-(n-1)}\left(f^{(k+(n-1))}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right)$$

On remarque que $$k$$ varie de $$0$$ à $$0$$: on retire sigma et on remplace $$k$$ par $$0$$.

On obtient donc $$g^{(n-1)}(x) = f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(x_{0})$$

Deuxième démonstration par récurrence: les dérivées de h
On avait dit que $$h(x) = (x-x_{0})^{n}$$

On veut montrer que $$h^{(n-1)}(x) = n!(x-x_{0})$$ et ce $$\forall n\in\mathbb{N}$$

On va donc montrer par récurrence que pour obtenir la dérivée $$m$$-ième de $$h$$ ($$m < n$$), on utilise la formule $$h^{(m)}(x) = \frac{n!}{(n-m)!}(x-x_{0})^{n-m}$$

Initialisation

Pour $$n=1$$, on veut montrer que $$h^{(1)}(x) = h'(x) = \frac{n!}{(n-1)!}(x-x_{0})^{n-1} = n(x-x_{0})^{n-1}$$

$$h(x) = (x-x_{0})^{n} = e^{n \times ln(x-x_{0})} = e^{u(x)}$$ avec $$u(x) = n \times ln(x-x_{0})$$

Donc $$h'(x) = u'(x) \times e^{u(x)} = u'(x) \times h(x)$$

Or $$u'(x) = \frac{n}{x-x_{0}}$$

Donc $$h'(x) = \frac{n}{x-x_{0}} \times (x-x_{0})^{n}$$

Donc $$h'(x) = n\times(x-x_{0})^{n-1}$$

Donc c'est vrai pour $$n=1$$.

Hérédité

On suppose que $$h^{(m)}(x) = \frac{n!}{(n-m)!}(x-x_{0})^{n-m}$$ est vrai pour un certain $$m$$ quelconque: on veut montrer que ça reste vrai pour $$m+1$$

c'est-à-dire que $$h^{(m+1)}(x) = \frac{n!}{(n-m-1)!}(x-x_{0})^{n-m-1}$$

On sait que $$h^{(m)}(x) = \frac{n!}{(n-m)!}(x-x_{0})^{n-m} = \frac{n!}{(n-m)!} \times e^{(n-m)\times ln(x-x_{0})} = \frac{n!}{(n-m)!} \times e^{u(x)}$$

avec $$u(x) = (n-m)\times ln(x-x_{0})$$ donc $$u'(x) = \frac{n-m}{x-x_{0}}$$

Or $$h^{(m+1)}(x) = \frac{n!}{(n-m)!} \times u'(x) \times e^{u(x)} =  \frac{n!}{(n-m)!} \times u'(x) \times (x-x_{0})^{n-m} $$

Donc $$h^{(m+1)}(x) = \frac{n!}{(n-m)!} \times \frac{n-m}{x-x_{0}} \times (x-x_{0})^{n-m}$$

Donc $$h^{(m+1)}(x) = \frac{n!}{(n-m-1)!} \times (x-x_{0})^{n-m-1}$$

Donc ça reste vrai pour $$m+1$$.

Conclusion

$$h^{(m)}(x) = \frac{n!}{(n-m)!}(x-x_{0})^{n-m}$$

Au final, on veut montrer que $$h^{(n-1)}(x) = n!(x-x_{0})$$

Ici, $$m = n-1$$, donc $$h^{(m)}(x) = h^{(n-1)}(x) =\frac{n!}{(n-(n-1))!}(x-x_{0})^{n-(n-1)} = n!(x-x_{0})$$

Fin de la démonstration
On a montré que $$g^{(n-1)}(x) = f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(x_{0})$$ et que $$h^{(n-1)}(x) = n!(x-x_{0})$$.

Donc $$\lim\limits_{x\to x_{0}}\left(\frac{g^{(n-1)}(x)}{h^{(n-1)}(x)}\right) = \lim\limits_{x\to x_{0}}\left(\frac{f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(x_{0})}{n!(x-x_{0})}\right) = \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}$$

Donc $$\lim\limits_{x\to x_{0}}\left( \frac{f(x) - \sum\limits_{k=0}^{n-1}\left[ f^{(k)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right]}{(x-x_{0})^{n}}\right) = \lim\limits_{x\to x_{0}}\left(\frac{g(x)}{h(x)}\right) = \lim\limits_{x\to x_{0}}\left(\frac{g^{(n-1)}(x)}{h^{(n-1)}(x)}\right) = \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}$$

Donc $$\lim\limits_{x\to x_{0}}\left( \frac{f(x) - \sum\limits_{k=0}^{n-1}\left[ f^{(k)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right]}{(x-x_{0})^{n}}\right) = \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}$$

Donc $$\lim\limits_{x\to x_{0}}\left( \frac{f(x) - \sum\limits_{k=0}^{n-1}\left[ f^{(k)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right]}{(x-x_{0})^{n}} - \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!} \right) = 0$$

Donc $$\lim\limits_{x\to x_{0}}\left( \frac{f(x) - \sum\limits_{k=0}^{n-1}\left[ f^{(k)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right]}{(x-x_{0})^{n}} - \frac{\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}}{(x-x_{0})^{n}} \right) = 0$$

Donc $$\lim\limits_{x\to x_{0}}\left( \frac{f(x) - \sum\limits_{k=0}^{n-1}\left[ f^{(k)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right] - \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}}{(x-x_{0})^{n}} \right) = 0$$

Donc $$\lim\limits_{x\to x_{0}}\left( \frac{f(x) - \sum\limits_{k=0}^{n-1}\left[ f^{(k)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right] - \frac{(x-x_{0})^{n}}{n!}f^{(n)}(x_{0})}{(x-x_{0})^{n}} \right) = 0$$

Donc $$\lim\limits_{x\to x_{0}}\left( \frac{f(x) - \sum\limits_{k=0}^{n}\left[ f^{(k)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right]}{(x-x_{0})^{n}} \right) = 0$$

Donc $$f(x) - \sum\limits_{k=0}^{n}\left[ f^{(k)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right] = o\left[(x-x_{0})^{n}\right]$$

Donc $$f(x) = \sum\limits_{k=0}^{n}\left[ f^{(k)}(x_{0}) \times \frac{(x-x_{0})^{k}}{k!}\right] + o\left[(x-x_{0})^{n}\right]$$