Démonstrations des formules supplémentaires sur les fonctions paires ou impaires

Enoncé
Soit $$f$$ une fonction définie sur un domaine $$\mathcal{D}$$ symétrique par rapport à $$0$$.


 * Soit $$n\in\mathbb{N}$$. Si $$f$$ est paire, alors $$f^{n}$$ est paire.


 * Soit $$n\in\mathbb{N}$$. Si $$f$$ est impaire, alors $$f^{n}$$ est de la même parité que $$n$$.


 * Si $$f$$ est paire ou impaire, alors $$|f|$$ est paire.


 * Si $$f$$ est paire ou impaire et ne s'annule pas, alors $$1/f$$ est de même parité que $$f$$.


 * Si $$f$$ est impaire et est bijective de $$D$$ vers $$D'$$, alors $$f^{-1}$$ est impaire.

Démonstration 1
Supposons que $$f$$ est paire.

Alors $$\forall x\in\mathcal{D}, f^{n}(-x) = [f(-x)]^{n} = [f(x)]^{n} = f^{n}(x)$$.

Donc $$f^{n}$$ est paire.

Démonstration 2
Supposons que $$f$$ est impaire.


 * Si $$n$$ est paire, alors il existe $$k\in\mathbb{N}$$ tel que $$n=2k$$.

Et donc $$\forall x\in\mathcal{D}, f^{n}(-x)=[f(-x)]^{n}=[f(-x)]^{2k}=\left([f(-x)]^{2}\right)^{k}=\left([-f(x)]^{2}\right)^{k}=\left([f(x)]^{2}\right)^{k}$$

$$= \left[f(x)\right]^{2k}=\left[f(x)\right]^{n}=f^{n}(x)$$

Donc $$f^{n}$$ est paire.


 * Si $$n$$ est impaire, alors il existe $$k\in\mathbb{N}$$ tel que $$n=2k+1$$.

Et donc $$\forall x\in\mathcal{D}, f^{n}(-x)=[f(-x)]^{n}=[f(-x)]^{2k+1}=[f(-x)]^{2k}\times f(-x)=f(x)^{2k}\times(-f(x))$$

$$=-f(x)^{2k}\times f(x)=-f(x)^{2k+1}=-f(x)^{n}$$

Donc $$f^{n}$$ est impaire.

Démonstration 3

 * Supposons que $$f$$ soit paire.

Alors $$\forall x\in\mathcal{D},|f|(-x)=|f(-x)|=|f(x)|=|f|(x)$$.

Donc $$|f|$$ est paire.


 * Supposons que $$f$$ soit impaire.

Alors $$\forall x\in\mathcal{D}, |f|(-x)=|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|=|f|(x)$$.

Donc $$|f|$$ est paire.

Démonstration 4
Supposons que $$\forall x\in\mathcal{D},f(x)\neq0$$.


 * Supposons que $$f$$ soit paire.

Alors $$\forall x\in\mathcal{D},\frac{1}{f}(-x)=\frac{1}{f(-x)}=\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{f}(x)$$.

Donc $$\frac{1}{f}$$ est paire.


 * Supposons que $$f$$ soit impaire.

Alors $$\forall x\in\mathcal{D},\frac{1}{f}(-x)=\frac{1}{f(-x)}=\frac{1}{-f(x)}=-\frac{1}{f(x)}=-\frac{1}{f}(x)$$.

Donc $$\frac{1}{f}$$ est impaire.

Démonstration 5
Supposons que $$f$$ est impaire et bijective de $$\mathcal{D}$$ vers $$\mathcal{D}'$$.

On a par définition que $$\forall(x;y)\in\mathcal{D}\times\mathcal{D}',y=f(x) \Leftrightarrow x=f^{-1}(y)(A)$$.

Or, $$f$$ est impaire, donc $$y=f(x) \Leftrightarrow f(-x)=-f(x)=-y(B)$$.

Donc en combinant enchaînant $$(B)$$ puis $$(A)$$ (pour $$(A)$$, on remplace $$y$$ par $$-y$$ et $$x$$ par $$-x$$), on obtient

$$y=f(x) \underbrace{\Leftrightarrow}_{(B)} -y=f(-x) \underbrace{\Leftrightarrow}_{(A)} -x=f^{-1}(-y)$$.

Donc on a $$y=f(x) \Leftrightarrow f^{-1}(-y)=-x=-f^{-1}(y)$$.

Donc en particulier, $$\forall y\in\mathcal{D}',f^{-1}(-y)=-f^{-1}(y)$$.

Donc $$f^{-1}$$ est impaire.