Démonstration que R est archimédien

Enoncé
Soit $$x$$ un nombre réel et $$a$$ un nombre réel strictement positif.

Alors il existe un entier naturel non nul $$n$$ tel que $$na > x$$.

On exprime cette propriété en disant que $$\mathbb{R}$$ est archimédien.

Démonstration
Supposons par l'absurde que $$na \leq x$$ pour tout entier naturel non nul $$n$$.

Alors $$A=\left\{na,n\in\mathbb{N}^{*}\right\}$$ est une partie de $$\mathbb{R}$$ non vide et majorée par $$x$$.

Donc d'après | l'axiome de la borne supérieure, $$\sup(A)$$ existe.

Soit $$n$$ un entier naturel non nul et soit $$q=n+1$$.

On a alors que $$qa\leq\sup(A)$$ par définition de $$\sup(A)$$ puisque $$qa\in A$$.

Donc $$(n+1)a\leq\sup(A)$$.

Donc $$na + a\leq\sup(A)$$.

Donc $$na\leq\sup(A)-a$$.

Donc $$\sup(A)-a$$ est un majorant de $$A$$.

Or, $$\sup(A)-a<\sup(A)$$.

Donc il existe un majorant de $$A$$ qui est plus petit que $$\sup(A)$$.

C'est absurde d'après la définition de $$\sup(A)$$.

Donc $$na \leq x$$ pour tout entier naturel non nul $$n$$ est faux.

Donc il existe un entier naturel non nul $$n$$ tel que $$na > x$$. CQFD.