Le théorème du rang

Soit $$E$$ un $$\mathbb{K}$$espace vectoriel de dimension finie.

Soit $$F$$ un $$\mathbb{K}$$espace vectoriel.

Soit $$f\in\mathcal{L}(E;F)$$.

On a alors $$dim(E)=dim[ker(f)] + rang(f)$$.

Enoncé du lemme
On commence par montrer le lemme suivant:

Soit $$E$$ un $$\mathbb{K}$$espace vectoriel.

Soit $$F$$ un $$\mathbb{K}$$espace vectoriel.

Soit $$f\in\mathcal{L}(E;F)$$.

Soit $$H$$ un supplémentaire de $$ker(f)$$ dans $$E$$.

On a alors que la restriction de $$f$$ à $$H$$ dans $$Im(f)$$ est un isomorphisme.

Démonstration du lemme
On regarde la nouvelle application

$$\overset{\sim}{f}:H\longrightarrow Im(f)$$

$$u\longmapsto f(u)$$


 * $$f$$ étant linéaire, $$\overset{\sim}{f}$$ l'est aussi.


 * Soit $$u\in H$$, on a $$\overset{\sim}{f}(u)=0_{F} \Longrightarrow f(u)=0_{F} \Longrightarrow u\in H\cap ker(f)$$.

Or, comme $$H$$ et $$ker(f)$$ sont supplémentaires dans $$E$$, on a $$H\cap ker(f)=\{0_{E}\}$$.

Donc $$ker\left(\overset{\sim}{f}\right)=\{0_{E}\}$$ donc $$\overset{\sim}{f}$$ est injective.


 * Soit $$y\in Im(f)$$. Alors il existe $$x\in E$$ tel que $$f(x)=y$$.

Or, $$E=H+ker(f)$$ puisque $$H$$ et $$ker(f)$$ sont supplémentaires dans $$E$$.

Donc il existe $$z_{H}\in H$$ et $$z_{ker}\in ker(f)$$ tels que $$x = z_{H}+z_{ker}$$.

On a donc $$y = f(x) = f(z_{H}+z_{ker}) = f(z_{H})+f(z_{ker})=f(z_{H})+0_{F}=f(z_{H})$$.

Donc $$\forall y\in Im(f),~\exists z_{H}\in H,~f(z_{H})=y$$.

Or, pour tout $$z_{H}\in H, f(z_{H})=\overset{\sim}{f}(z_{H})$$.

Donc $$\forall y\in Im(f),~\exists z_{H}\in H,~\overset{\sim}{f}(z_{H})=y$$.

Donc $$\overset{\sim}{f}$$ est surjective.


 * Donc $$\overset{\sim}{f}$$ est bijective, donc un isomorphisme.

Démonstration du théorème du rang
Supposons à présent que $$E$$ est de type finie.

On a donc que, comme $$ker(f)\subset E$$ et $$H\subset E$$, $$ker(f)$$ et $$H$$ sont de type finie.

On sait de plus par définition de $$H$$ que $$H$$ et $$ker(f)$$ sont supplémentaires dans $$E$$.

Donc $$dim(E)=dim[ker(f)]+dim(H)$$.

Or, on vient de prouver grâce au lemme qu'il existe un isomorphisme entre $$H$$ et $$Im(f)$$.

Donc $$Im(f)$$ est de type finie et $$dim[Im(f)] = dim(H)$$.

Donc $$dim(E)=dim[ker(f)]+dim[Im(f)]$$.

On a l'égalité $$rang(f)=dim[Im(f)]$$ par définition du rang d'une application linéaire.

Donc $$dim(E)=dim[ker(f)]+rang(f)$$. CQFD