Démonstration de l'existence et de l'unicité de la partie entière d'un réel

Enoncé
Soit $$x$$ un nombre réel.

Alors il existe un unique entier relatif $$m$$ tel que $$m\leq x<m+1$$.

$$m$$ est alors appelé partie entière de $$x$$, et notée $$\lfloor x\rfloor$$.

Existence de la partie entière

 * Si $$x$$ est un entier, alors il suffit de prendre $$\lfloor x\rfloor=x$$.


 * Si $$x$$ n'est pas un entier et est positif, on utilise le fait que R est archimédien.

On a donc que pour tout $$a$$ strictement positif, il existe un entier naturel non nul $$n$$ tel que $$x<na$$.

On l'applique à $$a=1$$. Il existe donc un entier naturel non nul $$n$$ tel que $$x<n$$.

Ainsi, l'ensemble des entiers naturels non nuls supérieurs à $$x$$ est non vide.

D'après l'un des axiomes de $$\mathbb{N}$$, il contient donc un plus petit élément.

En le notant $$p$$, on a donc que $$x<p$$ et $$p-1\leq x$$,

Il suffit alors de prendre $$\lfloor x\rfloor=p-1$$.


 * Si $$x$$ n'est pas un entier et est négatif, on applique le raisonnement précédent sur $$-x$$.

On aboutit alors à l'existence d'un entier naturel $$\lfloor-x\rfloor$$ tel que $$\lfloor-x\rfloor\leq-x<\lfloor-x\rfloor+1$$.

Et donc $$-\lfloor-x\rfloor-1<x\leq \lfloor-x\rfloor$$.

Comme $$x$$ n'est pas entier, on a même$$-\lfloor-x\rfloor-1<x<\lfloor-x\rfloor$$.

On prend alors $$\lfloor x\rfloor=-\lfloor-x\rfloor-1$$.

Unicité de la partie entière
Soit $$x$$ un réel.

Soit $$n_{1}$$ et $$n_{2}$$ deux entiers tels que

$$\left\{\begin{array}{c} n_{1}\leq x<n_{1}+1\\ n_{2}\leq x<n_{2}+1 \end{array}\right. $$

Alors on a

$$\left\{\begin{array}{c} n_{1}\leq x<n_{1}+1\\ -n_{2}-1<-x\leq -n_{2} \end{array}\right. $$

En additionnant chacune des inégalités, on a donc

$$n_{1}-n_{2}-1<0<n_{1}-n_{2}+1$$


 * En prenant l'inégalité de gauche, on a donc

$$n_{1}-n_{2}-1<0$$

donc

$$n_{1}-n_{2} < 1$$

donc, comme il s'agit d'entiers

$$n_{1}-n_{2}\leq0~(1)$$


 * En prenant l'inégalité de droite, on a donc

$$0<n_{1}-n_{2}+1$$

donc

$$-1 < n_{1}-n_{2}$$

donc, comme il s'agit d'entiers

$$0\leq n_{1}-n_{2}~(2)$$


 * Donc d'après $$(1)$$ et $$(2)$$, on a

$$0\leq n_{1}-n_{2}\leq0$$

donc $$n_{1}-n_{2}=0$$

donc $$n_{1}=n_{2}$$

donc la partie entière est unique.