Démonstration de l'existence et de l'unicité de la partie paire et de la partie impaire d'une fonction

Enoncé
Soit $$f$$ une fonction définie sur $$\mathcal{D}$$, une partie de $$\mathbb{R}$$ qui est symétrique par rapport à $$0$$.

Alors $$f$$ peut s'écrire de manière unique sous la forme $$f=f_{p}+f_{i}$$ où


 * $$\forall x\in\mathcal{D}, f_{p}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$$ est une fonction paire.


 * $$\forall x\in\mathcal{D}, f_{i}(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$ est une fonction impaire.

On dira que $$f_{p}$$ est la partie paire de $$f$$, et que $$f_{i}$$ est la partie impaire de $$f$$.

Existence

 * Soit la fonction $$g$$ définie sur $$\mathcal{D}$$ par

$$\forall x\in\mathcal{D}, g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$$.

Soit $$x\in\mathcal{D}$$, alors $$g(-x)=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=g(x)$$.

Donc $$g$$ est paire.


 * Soit la fonction $$h$$ définie sur $$\mathcal{D}$$ par

$$\forall x\in\mathcal{D}, h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$.

Soit $$x\in\mathcal{D}$$, alors $$h(-x)=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=\frac{-(f(x)-f(-x))}{2}=-h(x)$$.

Donc $$h$$ est impaire.


 * Soit $$x\in\mathcal{D}$$.

On a alors que

$$g(x)+h(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}=\frac{2f(x)}{2}=f(x)$$. CQFD

Unicité
Supposons que $$f=g+h$$ où $$g$$ définie sur $$\mathcal{D}$$ est une fonction paire, et où $$h$$ définie sur $$\mathcal{D}$$ est une fonction impaire.

Soit $$x\in\mathcal{D}$$.


 * Alors $$\frac{f(x)+f(-x)}{2}=\frac{g(x)+h(x)+g(-x)+h(-x)}{2}=\frac{g(x)+h(x)+g(x)-h(x)}{2}$$

$$ = \frac{2g(x)}{2}=g(x)$$.


 * Alors $$\frac{f(x)-f(-x)}{2}=\frac{g(x)+h(x)-g(-x)-h(-x)}{2}=\frac{g(x)+h(x)-g(x)+h(x)}{2}$$

$$=\frac{2h(x)}{2}=h(x)$$.

Donc la décomposition est unique. CQFD.