MPSI: Chapitre 4 - Technique de dérivation - Propriété de la relation d'ordre sur R

Trois définitions de la valeur absolue

 * Pour tout réel $$x$$, on note $$|x|=\sqrt{x^{2}}$$


 * Pour tout réel $$x$$, on note $$|x|=max(-x;x)$$


 * Pour tout réel $$x$$, on note $$|x|=\left\{\begin{array}{cc}x&\mbox{si }x\geq0\\-x&\mbox{si }x<0\end{array}\right.$$

Le maximum et le minimum

 * Pour tous réels $$a$$ et $$b$$, on note $$max(a;b)=\frac{a+b+|a-b|}{2}$$.


 * Pour tous réels $$a$$ et $$b$$, on note $$min(a;b)=\frac{a+b-|a-b|}{2}$$.

L'inégalité triangulaire sur les réels

 * Pour tous réels $$a$$ et $$b$$, on a l'inégalité $$|a+b| \leq |a|+|b|$$.


 * On a l'égalité $$|a+b|=|a|+|b|$$ si et seulement si $$a$$ et $$b$$ sont de même signe.

Démonstration:


 * Pour tous réels $$a$$ et $$b$$,on remarque tout d'abord que

- $$|a+b|^{2}=\left(\sqrt{(a+b)^{2}}\right)^{2} = (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$

- Comme pour tout $$x\in\mathbb{R}$$, on a $$x \leq |x|$$.

On va forcément avoir $$ab \leq |ab| = |a||b|$$

Et donc on va avoir la suite d'équivalence suivante:

$$|a+b|\leq|a|+|b| \Leftrightarrow |a+b|^{2} \leq \left(|a|+|b|\right)^{2}$$

$$\Leftrightarrow a^{2}+2ab+b^{2} \leq a^{2} + 2|a||b|+b^{2}$$

$$\Leftrightarrow ab \leq |a||b|$$.

Comme cette dernière inégalité est toujours vraie, la toute première est forcément vraie. CQFD.

La partie positive et la partie négative d'un réel

 * Pour tout réel $$x$$ on note $$x^{+}=max(x;0)=-min(-x;0)$$, ce que l'on appelle la partie positive de $$x$$.


 * Pour tout réel $$x$$ on note $$x^{-}=max(-x;0)=-min(x;0)$$, ce que l'on appelle la partie négative de $$x$$.

On a donc pour tout réel $$x$$ que

$$x=x^{+}-x^{-}$$,

$$|x|=x^{+}+x^{-}$$

$$x^{+}=\frac{|x|+x}{2}$$,

$$x^{-} = \frac{|x|-x}{2}$$.

La distance entre deux réels

 * Pour tous réels $$x$$ et $$y$$, on note $$d(x;y)=|y-x|$$ la distance de $$x$$ à $$y$$.


 * La distance vérifie $$\forall(x;y;z)\in\mathbb{R}^{3}$$:

- $$d(x;y)\geq 0$$

- $$d(x;y) = 0 \Leftrightarrow x=y$$

- $$d(x;y) \leq d(x;z) + d(z;y)$$ (l'égalité a lieu quand on a $$x \leq z \leq y$$)

- $$d(|x|;|y|) \leq d(x;y)$$ (c'est la deuxième partie de l'inégalité triangulaire)

Démonstration

On veut donc montrer que pour tous réels $$x$$ et $$y$$, on a $$
 * x|-|y|| \leq |x-y|$$

Pour cela, on part de la première partie de l'inégalité triangulaire.

On sait que $$|a+b| \leq |a| + |b|$$

Dans cette égalité, on pose $$a=x$$ et $$b=y-x$$.

On a donc $$|x+(y-x)| \leq |x| + |y-x|$$

donc $$|y| \leq |x| + |y-x|$$

donc $$|y| - |x| \leq |y-x|=|x-y|(1)$$

Maintenant, on pose $$a=x-y$$ et $$b=y$$

On a donc $$|(x-y)+y| \leq |x-y|+|y|$$

donc $$|x| \leq |x-y| + |y|$$

donc $$|x|-|y| \leq |x-y|(2)$$

D'après $$(1)$$ et $$(2)$$, on a donc

$$||x|-|y||\leq|x-y|$$.

Parties majorées, minorées et bornées
Soit $$A$$ une partie de $$\mathbb{R}$$ éventuellement vide.

Définition de la partie majorée
On dit qu'un réel $$M$$ majore $$A$$ si pour tout élément $$a$$ de $$A$$, on a $$M \geq a$$.

On dit que $$A$$ est majorée si l'ensemble de ses majorants est non vide.

Définition de la partie minorée
On dit qu'un réel $$m$$ minore $$A$$ si pour tout élément $$a$$ de $$A$$, on a $$m \leq a$$.

On dit que $$A$$ est minorée si l'ensemble de ses majorants est non vide.

Définition de la partie bornée
On dit que $$A$$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Différentes remarques

 * Toute partie finie de $$\mathbb{R}$$ est bornée. Ainsi, l'ensemble vide est aussi borné.

- $$A$$ est majorée si et seulement si $$-A$$ est minorée
 * Si on pose $$-A=\left\{-a,a\in A\right\}$$, alors:

- $$A$$ est minorée si et seulement si $$-A$$ est majorée.

Définition de l'élément maximum
On dit qu'un élément $$\alpha$$ de $$A$$ est le maximum de $$A$$ si $$\alpha\geq x$$ pour tout $$x$$ de $$A$$.

Si un tel élément existe, alors il est unique. On note alors $$\alpha=max(A)$$.

Définition de l'élément minimum
On dit qu'un élément $$\alpha$$ de $$A$$ est le minimum de $$A$$ si $$\alpha\leq x$$ pour tout $$x$$ de $$A$$.

Si un tel élément existe, alors il est unique. On note alors $$\alpha=min(A)$$.

Axiome de la borne supérieure
Soit $$A$$ une partie non vide et majorée de $$\mathbb{R}$$.

Alors l'ensemble des majorants de $$A$$ possède un élément minimum.

Cet élément est appellé borne supérieure de $$A$$, et est notée $$\sup(A)$$.

Remarque sur l'axiome de la borne supérieure

 * La réel $$\sup(A)$$ est un majorant de $$A$$.


 * Il n'existe pas de réel strictement inférieur à $$\sup(A)$$ qui soit un majorant de $$A$$.


 * L'ensemble des majorant de $$A$$ est donc $$[\sup(A);+\infty[$$.

Propriété de la borne inférieure
Soit $$A$$ une partie non vide et minorée de $$\mathbb{R}$$.

Alors l'ensemble des minorants de $$A$$ possède un élément maximum.

Cet élément est appelé borne inférieure de $$A$$ et est noté $$\inf(A)$$.

Démonstration de la propriété de la borne inférieure

Remarque sur la propriété de la borne inférieure

 * Le réel $$\inf(A)$$ est un minorant de $$A$$.


 * Il n'existe pas de réel strictement supérieur à $$\inf(A)$$ qui soit minorant de $$A$$.


 * L'ensemble des minorants de $$A$$ est donc $$]-\infty;\inf(A)]$$.

Quelques propriétés de la borne supérieure et de la borne inférieure
$$(1)$$Soit $$A$$ une partie non-vide et majorée de $$\mathbb{R}$$, donc telle que $$\sup(A)$$ existe.


 * Dire qu'un réel $$x$$ majore $$A$$ c'est dire que $$x\geq\sup(A)$$.


 * Dire que $$\max(A)$$ existe, c'est dire que $$\sup(A)$$ appartient à $$A$$ et que $$\max(A)=\sup(A)$$.

$$(2)$$ Soit $$A$$ une partie non-vide et minorée de $$\mathbb{R}$$, donc telle que $$\inf(A)$$ existe.


 * Dire qu'un réel $$x$$ minore $$A$$ c'est dire que $$x\leq\inf(A)$$.


 * Dire que $$\min(A)$$ existe, c'est dire que $$\inf(A)$$ appartient à $$A$$ et que $$\min(A)=\inf(A)$$.

$$(3)$$ Soient $$A$$ et $$B$$ deux parties non vide de $$\mathbb{R}$$ telles que $$A\subset B$$.


 * Si $$B$$ est majorée, alors $$A$$ et majorée et $$\sup(A)\leq\sup(B)$$.


 * Si $$B$$ est minorée, alors $$A$$ est minorée et $$\inf(A)\geq\inf(B)$$.

$$(4)$$ Soit $$A$$ une partie non vide de $$\mathbb{R}$$. Notons $$-A$$ l'ensemble $$\left\{-a,a\in A\right\}$$.


 * Si $$A$$ est majorée, alors $$-A$$ est minorée et $$\inf(-A)=-\sup(A)$$.


 * Si $$A$$ est minorée, alors $$-A$$ est majorée et $$\sup(-A)=-\inf(A)$$.

$$(5)$$ Soient $$A$$ et $$B$$ deux parties non vides de $$\mathbb{R}$$.


 * Si $$A$$ et $$B$$ sont toutes les deux majorées, alors $$A+B$$ est majorée et $$\sup(A+B) = \sup(A)+\sup(B)$$.


 * Si $$A$$ et $$B$$ sont toutes les deux minorées, alors $$A+B$$ est minorée, et $$\inf(A+B) = \inf(A)+\inf(B)$$.

Démonstration

R est archimédien
Soit $$x$$ un nombre réel et $$a$$ un nombre réel strictement positif.

Alors il existe un entier $$n$$ tel que $$na > x$$.

On exprime cette propriété en distant que $$\mathbb{R}$$ est archimédien.

Démonstration

Axiomes sur N

 * Toute partie non vide de $$\mathbb{N}$$ possède un élément inférieur à tous les autres, dit "plus petit élément".


 * Toute partie non vide de $$\mathbb{N}$$ et majorée possède un élément supérieur à tous les autres, dit "plus grand élément".


 * $$\mathbb{N}$$ lui-même n'est pas majoré. En particulier, il ne possède pas de plus grand élément.

La partie entière d'un nombre réel

 * Soit $$x$$ un nombre réel.

Alors il existe un unique entier relatif $$m$$ tel que $$m\leq x<m+1$$.

m est alors appelé partie entière de $$x$$, et notée $$\lfloor x\rfloor$$.

Démonstration


 * On remarquera, en relisant la démonstration ci-dessus, que pour tout $$x$$ réel non entier, on a

$$\lfloor-x\rfloor=-\lfloor x\rfloor-1$$

Droite numérique achevée
On note $$\overline{\mathbb{R}}$$ l'ensemble $$\mathbb{R}\cup\left\{-\infty;+\infty\right\}$$.

Ce nouvel ensemble s'appelle la droite numérique achevée.

Les règles d'addition et de multiplications sont les mêmes que celles des limites.